自然数的运算性质
2020-08-01

自然数的运算性质是一切「数」之运算性质的原型,而这些性质来自于我们用自然数当作点数ㄕㄨˇ工具的语言含意。例如,当我们… 说到「一共有几个」,通常就在使用自然数的加法运算; 说到「多了几个」或者「少了几个」,通常就在使用自然数的加法运算; 同一个自然数接连着加几次,就是乘法运算; 某数接连着减去同一个自然数,就是除法运算。

其实自然数的运算,只是将日常说话的语言含意,用一组特殊的术语数字符号表达出来而已,实在并不高深。我们假设读者已经认识自然数运算的符号,并且已经能够熟练地操作自然数的加、减、乘、除运算,这四种运算统称为四则运算

以下,我们整理自然数的运算性质,并略加阐述。至于自然数之四则运算的具体意涵,以及归纳出以下运算性质的理由,读者可以参考向前的连结。
以下,我们令$$m$$、$$n$$、$$k$$都代表自然数;除非在项目中特别声明它们的关係,否则都是任意的自然数。

$$\blacksquare$$ 自然数的加法结合律:$$(m+n)+k=m+(n+k)$$
连加的时候不在乎先加哪两个数,例如
$$37+48+22=37+(48+22)=37+70=107$$

$$\blacksquare$$ 自然数的加法交换律
相加不在乎顺序,例如
$$37+48+63=(37+63)+48=100+48=148$$。

$$\blacksquare$$ 自然数的加减互逆:如果$$m+n=k$$,则$$k-n=m$$;反之亦然,如果$$m>n$$而且$$m-n=k$$,则$$k+n=m$$。
可以用来验算,例如计算$$93-26=67$$之后,用$$67+26=93$$验算。

$$\blacksquare$$ 自然数的乘法结合律:$$(m\times{n})\times{k}=m\times(n\times{k})$$
连乘的时候不在乎先乘哪两个数,例如
$$43\times{25}\times{4}=42\times(25\times{4})=42\times{100}=4200$$

$$\blacksquare$$ 自然数的乘法交换律:$$m\times{n}=n\times{m}$$
相乘不在乎顺序,例如$$16\times{23}\times{25}=(25\times{4}\times{4})\times{23}=23\times{400}=9200$$。

$$\blacksquare$$ 自然数乘法对加法的分配律:$$m(n+k)=m\times{n}+m\times{k}$$
把比较複杂的乘法换成两个比较简单的,例如
$$15\times{42}=15\times(40+2)=600+30=630$$。

$$\blacksquare$$ 自然数的乘除互逆:如果$$m\div{n}=k$$,则$$m=k\times{n}$$;反之亦然,如果$$m\times{n}=k$$,则$$m=k\div{n}$$而且$$n=k\div{m}$$
可以用来验算,例如计算$$456\div{38}=12$$之后,用$$38\times{12}=380+76=456$$验算。

用分式更容易表现乘除互逆。将$$m\div{n}$$写成$$\frac{m}{n}$$,则$$\frac{m}{n}=k$$在「交叉相乘」之后就是$$m=kn$$。同理,$$m=\frac{k}{n}$$和$$n=\frac{k}{m}$$也都是$$mn=k$$的「交叉相乘」结果。而所谓「交叉相乘」,其实是等量公理的另一种形式。等量公理是说…

$$\bigstar$$等量加等量,其值相等:如果$$m=n$$,则$$m+k=n+k$$。
$$\bigstar$$等量减等量,其值相等:如果$$m=n$$而且$$m>k$$,则$$m-k=n-k$$。
$$\bigstar$$等量乘以等量,其值相等:如果$$m=n$$,则$$m\times{k}=n\times{k}$$。
$$\bigstar$$等量除以等量,其值相等:如果$$m=n$$,则$$m\div{k}=n\div{k}$$。

根据等量公理,在$$\frac{m}{n}=k$$之等号两侧均乘以$$n$$,就是$$m=kn$$。在$$mn=k$$之等号两侧均除以$$n$$,就是$$m=\frac{k}{n}$$;均除以$$m$$,就是$$n=\frac{k}{m}$$。

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