自然数的大小和加减(Ordering and Additio
2020-08-01

自然数的运算,是一切「运算」的原型,而这些运算来自于我们用自然数当作点数ㄕㄨˇ工具的语言含意。自然数的运算,只是将日常使用的语言含意,用一组特殊的术语数字符号表达出来而已,实在并不高深。以下,我们从自然数加、减运算的具体含意,归纳它们运算性质。

我们已经知道 $$1, 2, 3,…, 10, 11, 12,…, 97, 98, 99, 100, 101, 102,…$$ 这些无止尽的自然数十进制数字,也会用它们来点数。在我们心中,已经有了如下的自然数模型:

自然数的大小和加减(Ordering and Additio

在这个模型上,右侧的自然数比左侧的大,也就是我们朗诵这些数字时,后面的数比前面的大;例如「$$5$$ 比 $$3$$ 大」,术语说成「$$5$$ 大于 $$3$$」,用符号记作 $$5>3$$。反之,左侧的比右侧的小,例如「$$3$$ 比 $$5$$ 小」,术语说成「$$3$$ 小于 $$5$$」,用符号记作 $$3<5$$。

而且,在这个模型上,除了 $$1$$ 以外,每个自然数都有左右两个「相邻」的自然数;例如 $$2$$ 和 $$4$$ 与 $$3$$「相邻」。在「相邻」的两个自然数之间,没有其他自然数了;例如 $$2$$ 和 $$3$$ 之间,没有其它的自然数。用术语说,就是「不存在自然数 $$n$$,满足 $$2离散的。

只有离散量才能用自然数点数。例如一本书有几页?班级内有几人?仰卧起坐了几次?今年登陆了几个颱风?

令 $$m$$ 和 $$n$$ 是自然数,所谓$$m$$ 加 $$n$$」就是从 $$m$$ 开始向右数 $$n$$ 个所达到的自然数,记作 $$m+n$$。例如 $$5+3$$ 的操作如下:

自然数的大小和加减(Ordering and Additio

所以「$$5$$ 加 $$3$$ 就是 $$8$$」,术语说成「$$5$$ 加 $$3$$ 等于 $$8$$」,记作 $$5+3=8$$。

而「$$m$$ 加 $$n$$」的语言含意就是「$$m$$ 个和 $$n$$ 个共有」的意思。例如 $$5+3$$ 可以用来计算以下两堆叶子共有几片?

自然数的大小和加减(Ordering and Additio

所以 $$5+3$$ 的意思是先数左边那一堆,再数右边那一堆;而 $$3+5$$ 的意思是先数右边那一堆,再数左边那一堆。它们的结果当然应该一样。

自然数的大小和加减(Ordering and Additio

所以 $$3+5$$ 和 $$5+3$$ 是一样的,术语说成「$$3+5$$ 和 $$5+3$$ 相等」,也说成「$$3+5$$ 等于 $$5+3$$」,记作 $$3+5=5+3$$。如此的现象,不限于 $$3$$ 和 $$5$$,对所有自然数都成立。用术语说,就是(自然数的)加法具有交换律,记作 $$m+n=n+m$$。

如果有三堆叶子,从左到右依序有 $$5$$ 片、$$2$$ 片、$$3$$ 片。用加法计算它们共有几片,如果先算左边两堆,就是 $$(5+2)+3$$;如果先算右边两堆,则是 $$5+(2+3)$$。在上述的状况我们知道,在只有加法的情况下算式是由左到右进行。但若我们不希望如此时,则可以使用( )来标示出希望先执行的部分,例如 $$5+(2+3)$$ 就是表示我们想先计算右边两堆叶子的状况,于是我们便先计算出 $$2+3$$ 的部分,算出括号内的答案是 $$5$$ 之后,再重新由算式的开头由左往右地计算出 $$5+5$$ 的答案。然而在整数连加的状况就如同上面两堆叶子总数相加的状况,并不在乎前后顺序,因此它们的结果当然应该一样。这样的现象亦不受限于 $$(5+2)+3$$ 与 $$5+(2+3)$$,对所有自然数都成立。用术语说,就是(自然数的)加法具有结合律,记作 $$(m+n)+p=m+(n+p)$$。

自然数的大小和加减(Ordering and Additio

而所谓「$$m$$ 减 $$n$$」就是从 $$m$$ 开始向左数 $$n$$ 个所达到的自然数,记作 $$m-n$$。例如 $$5-3$$ 的操作如下:

自然数的大小和加减(Ordering and Additio

所以「$$5$$ 减 $$3$$ 就是 $$2$$」,术语说成「$$5$$ 减 $$3$$ 等于 $$2$$」,记作 $$5-3=2$$。

回到这个自然数模型上,我们已经进行过「向右数」和「向左数」的实际操作,也就是加法与减法的操作,细心的同学可能会发现两者具有一个强烈的关连性——无论从任何一点出发,在此假设为五,从五开始向右走三格会抵达八,用数学式表示即为 $$5+3=8$$。同样地,若从八开始往回走三格则会回到五,表示为 $$8-3=5$$。这样的现象适用于所有的自然数,术语称之为自然数的加减互逆,记作 $$k=m+n\Longleftrightarrow k-n=m$$。

自然数的大小和加减(Ordering and Additio

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